1 . 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.

（1）记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知、为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数、、、不能构成等差数列

2 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，则从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点取自同一片“风叶”的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（       ）

A．36

B．48

C．72

D．96

5 . 一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．

6 . 人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作.成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因､隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ＝（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，等式左边x^k的系数为（0≤k≤n），等式右边x^k项系数为，所以我们得到组合数恒等式：＝．
（1）化简：（）²+（）²+（）²+…+（）²+）²；
（2）若袋中装有n（n∈N*）个红球和n个白球，从中一次性取出n个球．规定取出k（0≤k≤n）个红球得k²分，设X为一次性取球的得分，求X的数学期望．

9 . 甲､乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为，设甲获得最终胜利的概率为.
（1）证明：；
（2）当时，比较与的大小，并给出相应的证明.

10 . 某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ₁；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ₂.
（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；
（ii）若，证明：.