1 . 已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.
(1)记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；
(2)设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.

2 . 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.

3 . 若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有，
(1)比较与的大小关系；
(2)判断是否为上的增函数，并说明理由；
(3)证明：当时，．

4 . 是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（       ）

A．0

B．1

C．2

D．3

5 . 已知函数的定义域均为R．给出以下3个命题：
①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；
②若是奇函数，且在是严格减函数，则在R上是严格减函数；
③若在R上均是严格增函数，则中至少有一个在R上是严格增函数．
其中，假命题的序号为__________．

6 . 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （       ）

A．①②都是真命题	B．①是真命题②是假命题
C．①是假命题②是真命题	D．①②都是假命题

7 . 某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是________.

8 . （1）是定义在正整数集上的函数，并且满足
①当为正整数时，；
②当为非负整数时，.
求的值.
（2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质：
①；②；③.
求.

9 . 以下四个命题：
①函数最小值为；
②方程没有整数解；
③若，则；
④不等式的解集为.
其中真命题的个数为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 设函数的表达式为（且）
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，证明：是一个常数；
(3)在（2）的条件下，求的值．