1 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

2 . 已知，.定义，设，．
   
(1)若，（i）画出函数的图象；
（ii）直接写出函数的单调区间；
(2)定义区间的长度.若，，则.设关于x的不等式的解集为D.是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数．
(1)求证：是的生成函数；
(2)若是的生成函数，判断并证明的单调性；
(3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数．

4 . 已知函数在上单调递减，在上单调递增．记函数．
(1)写出函数的单调区间（无需说明理由）及其最小值；
(2)若直线与函数和的图象共有三个不同的交点，从左到右依次记为，，，试证明：．

5 . 若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质．
(1)判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数；
(2)已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明；
(3)已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．

6 . 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质.
(1)记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件
则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
(2)若在满足性质，求实数的取值范围；
(3)若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值.

7 . 若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.

8 . 已知在定义域内单调的函数满足恒成立.
(1)设，求实数的值；
(2)解不等式；
(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值.

9 . 形如的函数的图象很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增．
(1)当时，请举例说明在上不是增函数；
(2)已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围．

10 . 已知自变量为的函数，
(1)若且，则函数图像可由幂函数______（写解析式）先沿轴方向______平移______个单位，再沿轴方向向上平移______个单位得到；
(2)当且时不等式对恒成立，求实数的最大值；
(3)若且关于的不等式解集是单元素集，试写出函数的严格单调区间，并说明单调性（不需要证明单调性）