1 . 设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

2 . 对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．
(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；
(2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围；
(3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．

3 . 已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.

4 . 已知函数，．
(1)求证：当时，函数在R上单调递减；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

5 . 已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）如果函数恰有两个不同的极值点，证明：．

6 . 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间．
（1）判断下列函数中，哪些是上的单峰函数？若是，指出峰点；若不是，说出原因：
①，②；
（2）若函数是区间上的单峰函数，证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；
（3）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围．

7 . 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间.
（1）判断下列函数中，哪些是上的单峰函数？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，，，；
（2）若函数是区间上的单峰函数，证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间.
（3）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围.

8 . 已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级递减周期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．
（1）已知函数是上的周期为的级递减周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是上级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．

9 . 已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数.
（1）求在上的限制函数的解析式；
（2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用]
（3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间.

10 . 已知定义域为的函数是奇函数.
(1) 求实数的值；
(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性；
(3) 若方程在内有解，求实数的取值范围．