1 . 设,有如下两个命题:
①函数的图象与圆有且只有两个公共点;
②存在唯一的正方形,其四个顶点都在函数的图象上.
则下列说法正确的是( ).
①函数的图象与圆有且只有两个公共点;
②存在唯一的正方形,其四个顶点都在函数的图象上.
则下列说法正确的是( ).
A.①正确,②正确 | B.①正确,②不正确 |
C.①不正确,②正确 | D.①不正确,②不正确 |
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2 . 高三年级学生李波研究函数时,发现它的定义域是,图像连续不断,而且在上单调递增,在上单调递减.请你根据李波的研究成果,讨论一下方程的解的个数.
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3 . 已知函数,若数列的各项由以下算法得到:
①任取(其中),并令正整数;
②求函数图象在处的切线在轴上的截距;
③判断是否成立,若成立,执行第④步;若不成立,跳至第⑤步;
④令,返回第②步;
⑤结束算法,确定数列的项依次为.
根据以上信息回答下列问题:
(1)求证:;
(2)是否存在实数使得为等差数列,若存在,求出数列的项数;若不存在,请说明理由.参考数据:.
①任取(其中),并令正整数;
②求函数图象在处的切线在轴上的截距;
③判断是否成立,若成立,执行第④步;若不成立,跳至第⑤步;
④令,返回第②步;
⑤结束算法,确定数列的项依次为.
根据以上信息回答下列问题:
(1)求证:;
(2)是否存在实数使得为等差数列,若存在,求出数列的项数;若不存在,请说明理由.参考数据:.
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名校
4 . 超越数得名于欧拉,它的存在是法国数学家刘维尔(Joseph Liouville)最早证明的.一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根:(,,…,,).数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数.回答下列问题:
已知函数()只有一个正零点.
(1)求数列的通项公式;
(2)(ⅰ)构造整系数方程,证明:若,则为有理数当且仅当.
(ⅱ)数列中是否存在不同的三项构成等比数列?若存在,求出这三项的值;否则说明理由.
已知函数()只有一个正零点.
(1)求数列的通项公式;
(2)(ⅰ)构造整系数方程,证明:若,则为有理数当且仅当.
(ⅱ)数列中是否存在不同的三项构成等比数列?若存在,求出这三项的值;否则说明理由.
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5 . 已知数列满足,函数的极值点为,若,则__________ .
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6 . 如图,过点的动直线交抛物线于两点.(1)若,求的方程;
(2)当直线变动时,若不过坐标原点,过点分别作(1)中的切线,且两条切线相交于点,问:是否存在唯一的直线,使得?并说明理由.
(2)当直线变动时,若不过坐标原点,过点分别作(1)中的切线,且两条切线相交于点,问:是否存在唯一的直线,使得?并说明理由.
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知方程有4个不同的实数根,分别记为,则的取值范围为( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
8 . 已知函数.
(1)证明:函数有三个不同零点的必要条件是;
(2)由代数基本定理,次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根(重根按重数计算).
若,证明:方程至多有3个实数根.
(1)证明:函数有三个不同零点的必要条件是;
(2)由代数基本定理,次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根(重根按重数计算).
若,证明:方程至多有3个实数根.
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9 . 已知函数与的图象关于直线对称,若,构造函数.
(1)当时,求函数在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积;
(2)若(其中为的导函数),当时,,证明:.(参考数据:)
(1)当时,求函数在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积;
(2)若(其中为的导函数),当时,,证明:.(参考数据:)
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解题方法
10 . 已知函数
(1)若、在处切线的斜率相等,求的值;
(2)若方程有两个实数根,试证明:;
(3)若方程有两个实数根,试证明:.
(1)若、在处切线的斜率相等,求的值;
(2)若方程有两个实数根,试证明:;
(3)若方程有两个实数根,试证明:.
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