1 . （1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：
如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度；

（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：

（i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值；
（ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积．

2 . 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.

3 . 在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．

4 . 由扇形和组成的平面图形如图所示，已知，，，，点在弧（含端点）上运动.

(1)连接，求正弦值的取值范围；
(2)四边形面积为，求的最大值.

5 . 在中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：.
(2)若，，求的面积.

6 . 在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．

7 . 已知函数．在中，，且．
(1)求的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．

8 . 已知满足．
(1)求；
(2)若为的角平分线，，，求的周长.

9 . 在中，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．

10 . 在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形中，角所对的边分别为，______．
(1)求；
(2)已知是的平分线与的交点，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．