1 . 如图，记，，，已知，．

(1)若点在线段OA上，且，求的值；
(2)若向量与方向相同，且，求；
(3)若，求的最大值．

2 . 如图，分别是等腰梯形的边上的动点，，其中为定值，，设，其中.

(1)用所给字母，求出的表达式；
(2)证明：的余弦值与的取值无关；
(3)求的取值范围.

3 . 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．

4 . 定义三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组为三角形数．记D为三角形数的全集，即．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．

5 . 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
(1)求的范围
(2)求的最小值，
(3)若，求的最小值.

6 . 已知集合，，，，，记事件与所成角为锐角，求事件的概率.

7 . 与一条直线平行的向量称为它的方向向量.
(1)写出直线（、不同时为零）的一个方向向量；
(2)用直线的方向向量导出两直线夹角的余弦公式.

8 . 在平面直角坐标系中三点A，B，C满足，，D，E分别是线段BC，AC上的点，满足，，AD与BE的交点为G.
(1)求的余弦值；
(2)求向量的坐标.

9 . 已知单位向量，为平面内一组基向量，其中，的夹角为.对于平面内任意一个向量，总存在唯一的有序实数对，使得，定义为向量的“斜坐标”表示.
(1)若非零向量，，且，求证：；
(2)若向量，，，求，的夹角；
(3)若向量，，，求，的夹角的最大值，并说明取得最大值时的取值.

10 . （1）已知复数是纯虚数，求的值；
（2）已知，，，求与夹角的大小．