解题方法
1 . 已知两个不共线的向量
、
的夹角为
，且
，
，
为正实数．
(1)若
与
垂直，求
；
(2)若
，求
的最小值及对应的的值.
、的夹角为，且，，为正实数．(1)若
与垂直，求；(2)若
，求的最小值及对应的的值.
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2022-11-24更新
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1378次组卷
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6卷引用：向量的数量积
向量的数量积广西桂林市临桂区五通中学2021-2022学年高一下学期期中段考数学试题（已下线）6.2.4 向量的数量积 (精讲）(2)-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）第九章 平面向量（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题04 向量的数量积（1）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题04 向量的数量积（1）-《重难点题型·高分突破》
2020高三·全国·专题练习
解题方法
2 . （多选题）设
，
，
是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）
，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）A． |
B． |
C． 不与垂直 |
D． |
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2021-09-29更新
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2110次组卷
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8卷引用：北师大版(2019) 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二十 向量的数量积
北师大版(2019) 必修第二册 金榜题名 进阶篇 二十 向量的数量积（已下线）第5课时 课中 向量的数量积1.5向量的数量积（已下线）专题28 平面向量综合练习-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）（已下线）【新东方】【2021.5.19】【SX】【高三下】【高中数学】【SX00145】（已下线）专题25平面向量的数量积-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（已下线）考点36 平面向量的数量积-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）第六章 平面向量及其应用（基础训练）A卷-2021-2022学年高一数学课后培优练（人教A版2019必修第二册）
3 . 已知直线
，直线
，
与
相交于点A，则点A的轨迹方程为_________ ．
，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为
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2024·全国·模拟预测
名校
解题方法
4 . 已知向量
的夹角为
，
，则
______ ，
______ ．
的夹角为，，则
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2024-01-18更新
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740次组卷
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7卷引用：6.2.4 向量的数量积——课后作业（基础版）
（已下线）6.2.4 向量的数量积——课后作业（基础版）（已下线）2024届数学新高考学科基地秘卷（二）（已下线）高三数学开学摸底考02（新考法，新高考七省地区专用）（已下线）考点3 平面向量的数量积 --2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题1.3向量的数量积运算-重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）（已下线）6.2.4 向量的数量积10种常考题型归类（1）-高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校三校2024届高三下学期5月联考数学试题
21-22高一·江苏·课后作业
名校
解题方法
5 . 已知向量
满足
，则向量
在向量方向上的投影向量为（ ）
满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）| A． | B．1 |
| C．-1 | D． |
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2022-04-10更新
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1282次组卷
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6卷引用：9.2.3向量的数量积（备作业）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（苏教版2019必修第二册）
（已下线）9.2.3向量的数量积（备作业）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（苏教版2019必修第二册）（已下线）6.2.4 向量的数量积（课时作业）-2021-2022学年高一数学同步精品课件+课时作业（人教A版2019必修第二册）湖北省随州市曾都区第一中学2021-2022学年高一下学期5月月考数学试题黑龙江省佳木斯市第十二中学（佳木斯市建三江第一中学）2021-2022学年高一下学期期中数学试题山东省枣庄市滕州市第五中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）河北省石家庄市河北省实验中学2024届高三上学期名校联考数学试题变式题1-5
9-10高一下·辽宁·阶段练习
6 . 已知，是非零向量且满足
，
，则与的夹角是（ ）
，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-04-17更新
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2095次组卷
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57卷引用：2012年人教A版高中数学必修四2.4平面向量的数量积练习卷（一）
（已下线）2012年人教A版高中数学必修四2.4平面向量的数量积练习卷（一）2015-2016学年辽宁大连十一中高一下学期段考二试数学（文）试卷高中数学人教A版必修4 第二章 平面向量 2.3.3 向量数量积的运算律（1）高中数学人教A版必修4 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（已下线）6.2.4 向量的数量积（练习）-2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）（已下线）2010年辽宁省东北育才学校高一下学期第一次月考数学（已下线）2010年四川省成都石室中学高三第三次模拟考试（理）（已下线）北大附属实验学校2009—2010学年度下学期高一数学期中试卷（已下线）2011年内蒙古包头一中高三第一次模拟理科数学卷（已下线）2011届内蒙古包头一中高三第一次模拟考试数学理卷（已下线）2010-2011年浙江省杭十四中高一第二学期期中考试数学（已下线）2013届全国100所名校高三学期初理科数学示范卷（已下线）2012-2013学年四川省双流中学高二入学考试数学试卷（已下线）2013届辽宁沈阳二中等重点中学协作体高三领航高考预测十二理数学卷（已下线）2013届浙江省临海市白云高级中学高一下学期第二次段考数学试卷（已下线）2014届（安徽专用）高考数学（文）仿真模拟卷2练习卷2016届甘肃省天水市一中高三下第四次模拟理科数学试卷2016届甘肃省天水市一中高三下第四次模拟文科数学试卷2016届河南省南阳、周口、驻马店等六市高三第一次联考理科数学试卷2016届河南省南阳、周口、驻马店等六市高三第一次联考文科数学试卷2017届重庆市第八中学高三上一调考试数学（文）试卷2017届广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测数学（理）试卷2017届河南省息县第一高级中学高三下学期第一次阶段测试文数试卷2017届四川省宜宾市高三第二次诊断检测数学（理）试卷2017届四川省宜宾市高三二诊数学（理）试卷河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试理科数学试题河南省洛阳市2018届高三上学期期中考试数学（理）试题云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考数学（文）试题广西玉林、贵港市2017届高三下学期质量检测考试数学（理）试题云南省师范大学附属中学2017届高三适应性月考一数学（文）试题吉林省梅河口市第五中学（火箭班）2018届高三4月月考数学（理）试题福建省上杭县第一中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题山东省枣庄市第三中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题【全国百强校】广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题【全国百强校】河南省西华县第一高级中学2017-2018学年高一下学期升高二期末抽测选拔考试数学（理）试题【全国百强校】河南省周口市西华县第一高级中学2017-2018学年高一下学期期末抽测选拔考试数学（文）试题【全国百强校】山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试数学（理）试题【校级联考】山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试数学（文）试题四川省仁寿县文宫中学2019-2020学年高一5月月考数学（理）试题四川省仁寿县文宫中学2019-2020学年高一5月月考数学（文）试题海南省海口市第一中学2019-2020学年高二9月月考数学（A卷）试题河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高一下学期第一次综合测试数学试题2020届山西省太原市第五中学高三第二次模拟（6月） 数学（理）试题甘肃省白银市会宁县第二中学2019--2020学年度第二学期高二期末数学试题山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模试题甘肃省白银市会宁二中2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题（已下线）专题6.5 平面向量单元测试卷（测）-2021年新高考数学一轮复习讲练测安徽省六安市叶集皖西当代中学(毛坦厂中学分校)2020-2021学年高三上学期10月月考应届理科数学试题江苏省徐州市第一中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考(七)数学试题云南省保山市第九中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题宁夏固原市第一中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题福建省莆田锦江中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题福建省龙岩第一中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（福建卷）2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（福建卷）河北省邢台市第八中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
名校
解题方法
7 . 已知向量与向量的夹角为，且
，
.
（1）求
；
（2）若
，求
.
与向量的夹角为，且，.（1）求
；（2）若
，求.
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2020-08-07更新
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2593次组卷
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9卷引用：6.2 平面向量的数量积-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）
（已下线）6.2 平面向量的数量积-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）（已下线）6.2.2 平面向量的数量积（精练）-2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）1.5向量的数量积重庆市南开中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题6.3 平面向量的数量积及其应用（精练）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）第二章+平面向量（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修4）浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2021-2022学年高一下学期5月阶段性测试数学试题天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一下学期第一次适应性测试数学试题江西省宜春市丰城市东煌学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
8 . 下列有关四边形
的形状，判断正确的有（ ）
的形状，判断正确的有（ ）A．若 ，则四边形为平行四边形 |
B．若 ，则四边形为梯形 |
C．若 ，则四边形为菱形 |
D．若 ，且 ，则四边形为正方形 |
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名校
解题方法
9 . 
是边长为
的等边三角形，已知向量、满足
，
，则下列结论中正确的有（ ）
是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的有（ ）| A．为单位向量 | B． | C． | D． |
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2020-02-20更新
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2699次组卷
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14卷引用：6.2 平面向量的数量积-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）
（已下线）6.2 平面向量的数量积-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第9章 9.2.3 向量的数量积福建省福州市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题（已下线）专题09 平面向量-2020年新高考新题型多项选择题专项训练（已下线）2020年秋季高二数学开学摸底考试卷（新教材人教A版）04辽宁省瓦房店市高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题（已下线）专题6.3 平面向量的数量积及其应用（精练）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）专题06 平面向量 -备战2021年高考理科数学之纠错笔记系列福建福州闽侯第一中学2019—2020学年高一上学期期末数学试题第9章 平面向量 （A卷基础卷）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）福建省南平市浦城县2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题苏教版(2019) 必修第二册 必杀技 第9章 平面向量 素养检测山东省泰安市第三中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学试题第9章《平面向量》单元达标高分突破必刷卷(培优版）
名校
解题方法
10 . 已知向量
，
，
，
．
（1）若
，求实数的值；
（2）当
取最小值时，求与的夹角的余弦值．
，，，．（1）若
，求实数的值；（2）当
取最小值时，求与的夹角的余弦值．
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2021-04-13更新
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1997次组卷
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11卷引用：第12讲 向量的坐标表示（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）
（已下线）第12讲 向量的坐标表示（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）湖北省武汉市第十一中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）高一期末押题01-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（沪教版2020）福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题福建省厦门第一中学2021-2022学年高一3月月考数学试题广东省茂名市化州市第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题广东省茂名市重点中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题河南省郑州市第四十七高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考文科数学试题江苏省宿迁市泗洪县新星中学2022-2023学年高一下学期第一次测试数学试题广东省佛山市S7高质量发展联盟2022-2023学年高一下学期第一次联考（4月）数学试题山东省济南外国语学校2021-2022学年高二上学期开学数学试题
