1 . 近日北方地区普遍降雪，某幼儿教师手工课上带孩子们做描述雪花形状的图案：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为数列的前四项，则数列的通项公式为_____________，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么“科赫雪花”的面积将趋近于__________．

2 . 数列满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_______.

3 . 已知下列四个命题:
①等差数列一定是单调数列;
②等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列;
③已知等比数列的公比为,则“是单调递减数列”的充要条件是“”;
④记等差数列的前项和为,若,,则数列的最大值一定在处达到.
其中正确的命题有___________.（填写所有正确的命题的序号）

4 . 在数列中，，且.记，，则下列判断正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）
①数列为等比例数列；②存在正整数，使得能被11整除；
③；④能被51整除.

5 . 数列{a_n}的前n项和是，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：…，…有如下运算和结论：
①；
②；
③数列a₁，a₂＋a ₃，a ₄＋a ₅＋a ₆，a ₇＋a ₈＋a ₉＋a ₁₀，…是等比数列；
④数列a ₁，a ₂＋a ₃，a ₄＋a ₅＋a ₆，a ₇＋a ₈＋a ₉＋a ₁₀，…的前n项和；
在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________．

6 . 数列的前n项和是，若数列的各项按如下规则排列：有如下运算和结论：
①；
②；
③数列，，，，…是等比数列；
④数列，，，，…的前n项和；
⑤若存在正整数k，使，则．
在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________．

9 . 龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.