1 . 对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分数列；记
，称数列
为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于
，记
，规定：
，称
为数列的
阶差分数列．对于数列，如果
（
为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用
表示
，并归纳出表示
的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前
项和为
；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？(2)请用
表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列
为阶等差数列，则其前项和为；(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
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2 . 已知数列
的前n项和为
，
，
，
．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)令
，证明：
．
的前n项和为，，，．(1)求证：数列
为等差数列；(2)令
，证明：．
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2023-06-16更新
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348次组卷
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2卷引用：江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题
3 . 设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝
，已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜
．
(3)求证：
，已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜
．(3)求证：
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2022-11-03更新
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994次组卷
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4卷引用：天津市武清区杨村第一中学2022-2023学年高二下学期开学检测数学试题
名校
解题方法
4 . 已知数列
满足
，
，
，
.
（1）证明：数列
为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若
，记数列
的前项和为
，求证：
.
满足，，，.（1）证明：数列
为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若
，记数列的前项和为，求证：.
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2021-02-02更新
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1515次组卷
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7卷引用：江苏省苏州中学2020-2021学年高二下学期期初质量评估数学试题
江苏省苏州中学2020-2021学年高二下学期期初质量评估数学试题浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期期末数学试题（已下线）【新东方】绍兴高中数学00034（已下线）专题24 数列（解答题）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题22 数列（解答题）-2021年高考数学（文）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题23 数列（解答题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）（已下线）【新东方】绍兴高中数学00038
5 . 已知各项均为正数的数列满足
，且
，
．
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）数列
的前项和为，求证：
．
满足，且，．（1）证明：数列
是等差数列；（2）数列
的前项和为，求证：．
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2021-02-21更新
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126次组卷
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2卷引用：湖南省益阳市桃江县第一中学2020-2021学年高二(研学班)下学期入学考试数学试题
名校
6 . 对于无穷数列，“若存在
，必有
”，则称数列具有
性质.
（1）若数列满足
，判断数列是否具有
性质？是否具有
性质？
（2）对于无穷数列，设
，求证：若数列具有
性质，则
必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有
性质，又具有
性质，是否存在正整数
，，使得
，
，
，…，
，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列
满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列
，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知
是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
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2019-06-18更新
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1783次组卷
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5卷引用：广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题2019年上海市普陀区高三高考三模数学试题江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）专题06 数列
7 . 已知数列
满足
,
，
．
（1）求证：
是等差数列；
（2）证明：
．
满足,，．（1）求证：
是等差数列；（2）证明：
．
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名校
解题方法
8 . 记数列的前项和为，数列
的前项和为. 已知
，
.
(1)求的通项公式；
(2)求证：
.
的前项和为，数列的前项和为. 已知，.(1)求
的通项公式；(2)求证：
.
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名校
解题方法
9 . 在数列中，
．在等差数列中，前n项和为，
，
．
(1)求证
是等比数列，并求数列和的通项公式；
(2)设数列
满足
，的前n项和为，求
．
中，．在等差数列中，前n项和为，，．(1)求证
是等比数列，并求数列和的通项公式；(2)设数列
满足，的前n项和为，求．
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名校
解题方法
10 . 已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列
的前n项和为，证明：
．
为等差数列，．(1)求数列
的通项公式；(2)设数列
的前n项和为，证明：．
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2024-01-16更新
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596次组卷
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3卷引用：广东省云浮市云安区云安中学2024届高三下学期开学考试数学试卷
