1 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

2 . 【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；
（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

3 . 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.

4 . 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

5 . 已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等
比数列，且对任意的恒成立．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．

6 . 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.
（1） 若，是否存在，有说明理由；
（2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明.

7 . （注意：在试题卷上作答无效）
已知数列中， .
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.

8 . 设数列满足，其中，且，为常数.
（1）若是等差数列，且公差，求的值；
（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；
（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.

9 . 已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；
（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

10 . 数列的前项和为，且对任意正整数，都有；
（1）试证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（2）如果等比数列共有2017项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新数列，求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由；