1 . 已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证

2 . 已知数列{}的前n项和为，，给出以下三个条件:①；②{}是等差数列；③.
(1)从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；
(2)利用（1）中的条件，求证:数列的前n项和.

3 . 已知数列的前项和为.
(1)若，求和：；
(2)若，证明：是等差数列.

4 . 公比为的等比数列的前项和．
(1)求与的值；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．

5 . 已知数列满足，且对任意都有.
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.

6 . 已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)设(表示不超过x的最大整数)，求使得成立的最大整数n的值．

7 . 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.

8 . 在单调递增的等差数列中，，，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，，证明：.

9 . 在数列中，，设，数列的前项和为.
(1)求；
(2)证明：.

10 . 已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和．
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
(2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和．