名校
解题方法
1 . 等差数列
满足
，则
的最大值为____________ ．
满足，则的最大值为
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2 . 设数列
的前项和为
．若对任意的正整数，总存在正整数
，使得
，则称是“
数列”．
(1)若数列
，
，判断和
是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项
，公差
．若是“数列”，求
的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和
，使得
成立．
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．(1)若数列
，，判断和是否是“数列”；(2)设
是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立．
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2023-12-25更新
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724次组卷
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4卷引用：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2024届高三上学期12月练习数学试题
3 . 设数集S满足：①任意
，有
﹔②对任意x，
（x，y可以取相同值），有
或
，则称数集S具有性质P．
(1)判断数集
和
是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数集
且
具有性质P．
（i）当
时，判断
是否一定构成等差数列，说明理由；
（ⅱ）若
，数集B中的每个元素均为自然数且
，求数集B中所有元素的和的所有可能值．
，有﹔②对任意x，（x，y可以取相同值），有或，则称数集S具有性质P．(1)判断数集
和是否具有性质P，并说明理由；(2)若数集
且具有性质P．（i）当
时，判断是否一定构成等差数列，说明理由；（ⅱ）若
，数集B中的每个元素均为自然数且，求数集B中所有元素的和的所有可能值．
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4 . 已知数列满足
（
且
），则下列说法正确的是（ ）
满足（且），则下列说法正确的是（ ）A． ，且 |
B．若数列的前16项和为540，则 |
C．数列的前 项中的所有偶数项之和为 |
D．当n是奇数时， |
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2023-07-08更新
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1019次组卷
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4卷引用：广东省汕尾市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
5 . 设数列
，即当
时，
．记
．
(1)写出
，
，
，
；
(2)令
，求数列
的通项公式；
(3)对于
，定义集合
，求集合
中元素的个数．
，即当时，．记．(1)写出
，，，；(2)令
，求数列的通项公式；(3)对于
，定义集合，求集合中元素的个数．
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解题方法
6 . 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点
，其中
，且
．记
，如
，即
，即
，即
，…，以此类推．设数列的前n项和为，则（ ）
，其中，且．记，如，即，即，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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7 . 某校高三年级有
个班，每个班均有
人，第
（
）个班中有
个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是
，则
_________ .
个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则
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8 . 设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集
，
，…，
满足：
①，，…，均非空；
②，，…，中任意两个集合交集为空集；
③
．
则称，，…，为集合A的一个m阶分拆．
(1)若
，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若
，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求
的最大值；
(3)设，，
为正整数集合
（
，
）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素
构成
，其中
，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
，，…，满足：①
，，…，均非空；②
，，…，中任意两个集合交集为空集；③
．则称
，，…，为集合A的一个m阶分拆．(1)若
，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；(2)若
，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值；(3)设
，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
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9 . 数列项数为
，我们称
为的“映射焦点”，如果满足：①
；
②对于任意
，存在
，满足
，并将最小的记作
；
(1)若
，判断
时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？
(2)若
时，是映射焦点，证明：的最大值为4；
(3)若
，
，求
的最小值.
项数为，我们称为的“映射焦点”，如果满足：①；②对于任意
，存在，满足，并将最小的记作；(1)若
，判断时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？(2)若
时，是映射焦点，证明：的最大值为4；(3)若
，，求的最小值.
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10 . 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段
､
代表山坡，线段
为一段平地.设图中
坡的倾角满足
，
长
长
长
.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点
分别与
在同一铅垂线上，每隔
需要建造一个桥墩（不考虑端点
建造桥墩）
(1)求需要建造的桥墩的个数；
(2)已知高铁轨道的高度为
，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为
（单位：
），单个桥墩的建造成本为
（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.
､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩）(1)求需要建造的桥墩的个数；
(2)已知高铁轨道的高度为
，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.
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2023-03-06更新
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1380次组卷
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3卷引用：上海市2023届高三模拟数学试题
