2024高三下·全国·专题练习
1 . 已知函数
（
）．
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
，
是函数
的两个零点，证明：
．
（）．(1)求
的单调区间；(2)若函数
，是函数的两个零点，证明：．
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2 . 若数列
若满足递推关系
其中
为常数，我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列，并称方程
为递推关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论：对于k阶常系数齐次线性递推数列，若其不同的特征根为
，
，…，
，且特征根
的重数为
，则数列的通项公式为
其中
，
，这里
都是常数，它们由数列初始值可以确定.
(1)若数列满足
，且
，
，
，求数列的通项公式；
(2)若数列满足对于所有非负整数m，n（
），
都成立，且
，求数列的通项公式；
(3)设边长为1的正六边形ABCDEF，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数量）
若满足递推关系其中为常数，我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列，并称方程为递推关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论：对于k阶常系数齐次线性递推数列，若其不同的特征根为，，…，，且特征根的重数为，则数列的通项公式为其中
，，这里都是常数，它们由数列初始值可以确定.(1)若数列
满足，且，，，求数列的通项公式；(2)若数列
满足对于所有非负整数m，n（），都成立，且，求数列的通项公式；(3)设边长为1的正六边形ABCDEF，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数量）
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3 . 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数
，设自变量x从
变化到
，当
，
是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当
，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.
（ⅰ）求函数
在
处的切线方程；
（ⅱ）若为的极小值点，求a的取值范围.
对于函数
，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.（ⅰ）求函数
在处的切线方程；（ⅱ）若
为的极小值点，求a的取值范围.
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4 . 若数列和
的项数均为
，则将数列和的距离定义为
.
(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系
的所有数列的集合，数列和
为A中的两个元素，且项数均为.若
，
，数列和的距离
，求m的最大值；
(3)记S是所有7项数列（其中
，
或1）的集合，
，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
和的项数均为，则将数列和的距离定义为.(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系
的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；(3)记S是所有7项数列
（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
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5 . 已知函数
(1)当
时，求的零点；
(2)若恰有两个极值点，求
的取值范围.
(1)当
时，求的零点；(2)若
恰有两个极值点，求的取值范围.
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6 . 已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求的取值范围；
②当
时，证明：
.
.(1)若过点
可作曲线两条切线，求的取值范围；(2)若
有两个不同极值点.①求
的取值范围；②当
时，证明：.
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7 . 已知函数
.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数
在
处取得极大值，求实数
的取值范围：
(3)已知
，曲线在不同的三点
处的切线都经过点
，且
，当
时，证明：
.
.(1)求函数
的单调区间；(2)若函数
在处取得极大值，求实数的取值范围：(3)已知
，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：.
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解题方法
8 . 已知函数
，其中
(1)若，记
，试判断在
上的单调性；
(2)求证:当
时，
；
(3)若对
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
，其中(1)若
，记，试判断在上的单调性；(2)求证:当
时，；(3)若对
，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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9 . 已知函数
.
(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且
；
(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程
的根，证明：
.
.(1)当
时，求证：存在唯一的极大值点，且；(2)若
存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.
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10 . 已知函数
，.
(1)当
时，求
在区间
内极值点的个数；
(2)若
恒成立，求的值；
(3)求证：
，
，
.
，.(1)当
时，求在区间内极值点的个数；(2)若
恒成立，求的值；(3)求证：
，，.
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