名校
解题方法
1 . 已知函数
（
是自然对数的底数）.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，求
；
(3)利用（2）中求得的，若
，数列
满足
，且
，证明：
.
（是自然对数的底数）.(1)若
，求的极值；(2)若
，求；(3)利用（2）中求得的
，若，数列满足，且，证明：.
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解题方法
2 . 过抛物线
的焦点
的直线交
于
，
两点，
，
是的准线
上两点，以
为直径的圆与
切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为______ .
的焦点的直线交于，两点，，是的准线上两点，以为直径的圆与切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为
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解题方法
3 . 在高等数学中，我们将
在
处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．
(1)分别求
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：
．（其中
为虚数单位）；
(3)当
时，求证：
．（参考数据
）
在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．(1)分别求
在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：
．（其中为虚数单位）；(3)当
时，求证：．（参考数据）
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4 . 对于数列，定义：如果函数使得数列的前
项和
小于
，则称数列是“控制数列”.
(1)设
，证明：存在
，使得等差数列是“
控制数列”；
(2)设
，判断数列
是否为“
控制数列”，并说明理由；
(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数
使得数列
的前项积
小于，则称数列是“特控数列”.设
，其中
，证明：数列是“
特控数列”.
，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.(1)设
，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；(2)设
，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数
使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.
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2024-09-06更新
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310次组卷
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2卷引用：辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期开学联考数学试题
5 . 已知函数
，且定义域为
.
(1)求函数的单调区间；
(2)若有2个零点
，求实数的取值范围；
(3)若
恒成立，求实数的取值范围.
，且定义域为.(1)求函数
的单调区间；(2)若
有2个零点，求实数的取值范围；(3)若
恒成立，求实数的取值范围.
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解题方法
6 . 若数列
满足如下两个条件：①
和
恰有一个成立；②
.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”，
(1)若
，求
的可能取值；
(2)已知
的解集为
，求证：
成等比数列；
(3)若数列前3项均为正项，且
的解集为
，设
的最大值为
，求
的最大值.
满足如下两个条件：①和恰有一个成立；②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”，(1)若
，求的可能取值；(2)已知
的解集为，求证：成等比数列；(3)若数列
前3项均为正项，且的解集为，设的最大值为，求的最大值.
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2014·北京石景山·一模
名校
解题方法
7 . 对于数列
把a₁作为新数列
的第一项，把a₁或
作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是
．已知数列为数列
的生成数列，
为数列的前n项和．
(1)写出
的所有可能值；
(2)若生成数列满足
，求数列的通项公式；
(3)证明：对于给定的
的所有可能值组成的集合为
．
把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和．(1)写出
的所有可能值；(2)若生成数列
满足，求数列的通项公式；(3)证明：对于给定的
的所有可能值组成的集合为．
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2024-08-24更新
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264次组卷
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5卷引用：辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题
辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题（已下线）2014届北京市石景山区高三一模理科数学试卷上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数学试题山东省日照市2024届高三下学期校际联考（三模）数学试题（已下线）专题3 数列中的新定义压轴大题（二）【讲】
8 . 在
中，
，点
为的外心.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的最大值；
(3)求证：
.
中，，点为的外心.(1)若
，求的值；(2)若
，求的最大值；(3)求证：
.
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9 . 已知函数
（
）．
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：
（
，
）；
(3)若函数
有三个不同的零点，求
的取值范围．
（）．(1)求函数
的单调区间；(2)证明：
（，）；(3)若函数
有三个不同的零点，求的取值范围．
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10 . 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”
，…，
，其中
表示数列
中最小的项.
(1)若数列中各项均不相等，只有4项，
，且
，请写出的所有“次生数列”；
(2)若满足
，且
为等比数列，的“次生数列”为.
（i）求
的值；
（ii）求的前项和.
中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项.(1)若数列
中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”；(2)若
满足，且为等比数列，的“次生数列”为.（i）求
的值；（ii）求
的前项和.
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