1 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为
的倍数，称为的约数.设正整数共有
个正约数，即为
.
(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当
时，若
构成等比数列，求正整数；
(3)记
，求证：
.
除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当
时，若构成等比数列，求正整数；(3)记
，求证：.
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7日内更新
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153次组卷
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15卷引用：北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷（已下线）高考数学冲刺押题卷02（2024新题型）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（已下线）专题06 数列（已下线）第四套 艺体生新高考全真模拟 （一模重组卷）湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）高二下学期第三次月考模拟卷（新题型）（范围：导数+选择性必修第三册）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试（二）数学试卷A广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次大考数学试题福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷（已下线）第18题 数列与集合结合的新定义问题（高三备考9月刊）
2 . 已知函数
．
(1)若
为
的极值点，求a的值；
(2)若在区间
，
上各有一个零点，求的取值范围.
参考数据：
．
．(1)若
为的极值点，求a的值；(2)若
在区间，上各有一个零点，求的取值范围.参考数据：
．
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解题方法
3 . 已知椭圆C：
的离心率为
，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线
与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线
，
分别与直线
交于M，N两点，试问
是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线
与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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解题方法
4 . 已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若对任意
，
都成立，求实数m的取值范围；
(3)若
有两个极值点
，
，且
，求证：
．
．(1)若
，求的极值；(2)若对任意
，都成立，求实数m的取值范围；(3)若
有两个极值点，，且，求证：．
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名校
解题方法
5 . 意大利画家达
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数
的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为
，把
称为“双曲正弦函数”，记
，易知
．
(1)证明：（i）当
时，
；
（ii）当时，
；
(2)证明：
．
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知．(1)证明：（i）当
时，；（ii）当
时，；(2)证明：
．
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2014·北京石景山·一模
名校
解题方法
6 . 对于数列
把a₁作为新数列
的第一项，把a₁或
作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是
．已知数列为数列
的生成数列，
为数列的前n项和．
(1)写出
的所有可能值；
(2)若生成数列满足
，求数列的通项公式；
(3)证明：对于给定的
的所有可能值组成的集合为
．
把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和．(1)写出
的所有可能值；(2)若生成数列
满足，求数列的通项公式；(3)证明：对于给定的
的所有可能值组成的集合为．
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2024-08-24更新
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264次组卷
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5卷引用：上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数学试题
上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数学试题（已下线）2014届北京市石景山区高三一模理科数学试卷山东省日照市2024届高三下学期校际联考（三模）数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题（已下线）专题3 数列中的新定义压轴大题（二）【讲】
名校
7 . 已知函数
，且当时，
，则（ ）
，且当时，，则（ ）| A．只有4个极值点 |
B．在 上是增函数 |
C．当 时， |
| D．实数a的最小值为1 |
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解题方法
8 . 已知平面向量
对任意实数
都有
，
成立．若
，则
的取值范围是______ ．
对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是
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9 . 设等比数列：
的公比为q，其中
都为正奇数，
构成单调递增的正项等差数列．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)把
用
表示．
的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列．(1)求证：
；(2)求证：
；(3)把
用表示．
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解题方法
10 . 已知函数的导函数为
，对
恒成立，（e是自然对数的底数），
，若不等式
的解集中恰有3个整数，则实数
的取值范围是____________ .
的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是
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