1 . 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法.其基本思想是：通过对待排序序列
从左往右，依次对相邻两个元素
（
，2，
，
）比较大小，若
，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列
进行冒泡排序，首先比较
，需要交换1次位置，得到新序列
，然后比较
，无需交换位置，最后比较
，又需要交换1次位置，得到新序列
，最终完成了冒泡排序.同样地，序列
需要依次交换
，完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含n个不等实数的序列进行冒泡排序（
），设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为
，只需要交换1次的序列个数为
，只需要交换2次的序列个数为
，则下列说法正确的有（ ）
从左往右，依次对相邻两个元素（，2，，）比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列，最终完成了冒泡排序.同样地，序列需要依次交换，完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含n个不等实数的序列进行冒泡排序（），设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则下列说法正确的有（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2 . 对于每项均是正整数的数列P：
，定义变换
，将数列P变换成数列
：
．对于每项均是非负整数的数列
，定义
，定义变换
，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列
．
(1)若数列
为2，4，3，7，求
的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令
，
．
（i）探究与
的关系；
（ii）证明：
．
，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．(1)若数列
为2，4，3，7，求的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列
，令，．（i）探究
与的关系；（ii）证明：
．
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2024-03-12更新
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1026次组卷
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3卷引用：湖南师范大学附属中学（思沁校区）2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题
3 . 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列
，规定
为数列的一阶差分数列，其中
，规定
为数列的二阶差分数列，其中
．
(1)数列的通项公式为
，试判断数列
是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列
是以1为公差的等差数列，且
，对于任意的
，都存在
，使得
，求
的值；
(3)各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
为常数列，对满足
，
的任意正整数
都有
，且不等式
恒成立，求实数
的最大值．
，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．(1)数列
的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？(2)数列
是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各项均为正数的数列
的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．
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2024-03-03更新
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823次组卷
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3卷引用：四川省成都市新津区成外学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
4 . 设数列
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数
，使得
，则称是“
数列”．
(1)若数列
，
，判断和
是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项
，公差
．若是“数列”，求
的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和
，使得
成立．
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．(1)若数列
，，判断和是否是“数列”；(2)设
是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立．
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2023-12-25更新
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724次组卷
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4卷引用：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2024届高三上学期12月练习数学试题
5 . 已知数列满足
（
且
），则下列说法正确的是（ ）
满足（且），则下列说法正确的是（ ）A． ，且 |
B．若数列的前16项和为540，则 |
C．数列的前 项中的所有偶数项之和为 |
D．当n是奇数时， |
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2023-07-08更新
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1019次组卷
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4卷引用：云南省昆明市第一中学2024届高三新课标第四次一轮复习检测数学试题
名校
解题方法
6 . 已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
(1)若
，求
的值；
(2)若首项
中恰有6项在区间
内，求的范围；
(3)若首项，公差
，集合
，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项
；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数
叫做数和数
的调和平均数).
为等差数列，公差为，前项和为.(1)若
，求的值；(2)若首项
中恰有6项在区间内，求的范围；(3)若首项
，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).
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2023-02-08更新
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527次组卷
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2卷引用：辽宁省沈阳市辽宁实验中学北校2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试题
名校
解题方法
7 . 数列
的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“
数列”.
(1)数列的前项和
，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)数列
是等差数列，其首项
，公差，数列是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和
，使得
成立.
的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“数列”.(1)数列
的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；(2)数列
是等差数列，其首项，公差，数列是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立.
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2022-12-25更新
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402次组卷
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2卷引用：上海财经大学附属北郊高级中学2023届高三上学期10月月考数学试题
8 . 已知数列
，
，…，
的各项均为整数，且对任意的
，2，…，
，都有
．将A的所有项之和记为
．
(1)若
，
，求的最大值；
(2)若
，求证：
；
(3)设
．将所有符合题意且
的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．
，，…，的各项均为整数，且对任意的，2，…，，都有．将A的所有项之和记为．(1)若
，，求的最大值；(2)若
，求证：；(3)设
．将所有符合题意且的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．
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2022-10-24更新
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622次组卷
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2卷引用：北京市清华大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题
9 . 已知函数
的定义域均为R，且满足
则
（ ）
的定义域均为R，且满足则（ ）A． 3180 | B．795 | C．1590 | D．1590 |
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2022-10-12更新
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2040次组卷
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7卷引用：江西省重点校2023届高三上学期10月统一调研测试数学（理）试题
江西省重点校2023届高三上学期10月统一调研测试数学（理）试题四川省广安市邻水县九龙中学2022-2023学年高三上学期10月月考理科数学试题 重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期4月月考数学试题（已下线）专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-1（已下线）专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）-2（已下线）专题4 抽象函数问题（过关集训）（压轴题大全）（已下线）第16题 抽象函数与数列结合（一题多变）
名校
解题方法
10 . 已知数列
满足：①
（
）；②当
（
）时，
；当
（）时，
.记数列的前项和为.
(1)求满足条件的所有
，
，
的值；
(2)若
，求的最小值；
(3)求证：
的充要条件是
（）.
满足：①（）；②当（）时，；当（）时，.记数列的前项和为.(1)求满足条件的所有
，，的值；(2)若
，求的最小值；(3)求证：
的充要条件是（）.
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