1 . 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.

2 . 在①，的等差中项是3，②的等比中项是，③.这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答.如果选多种方案解答，按第一种方案计分.
已知正项等比数列满足___________，___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项积为，求数列的前n项和.

3 . 已知等差数列的前项和为
（1）求；
（2）求数列的前项和.

4 . 已知数列是等差数列，前n项和为；数列是各项均为正数的等比数列，前n项和为；且.
（1）分别求数列的通项公式和前n项和；
（2）若将数列中出现的数列的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列，记数列的前n项和为，求.

5 . 设等差数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式及；
（2）若        ，求数列的前n项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
（注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

6 . 已知数列是以为首项，为公比的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.

7 . 设数列{a_n}的前n项和为S_n，且，____，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列{a_n+1﹣S_n}的前n项和T_n.①a_n+1＝2S_n+2；②a_n+1＝2a_n+1；③2S_n＝a_n+1+1.

8 . 已知等比数列的前n项和，其中r为常数．
（1）求r的值；
（2）设，若数列{b_n}中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c_n}，求的值．

9 . 已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）已知，设___________，求数列的通项公式.
在①，②，③这3个条件中，任选一个解答上述问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

10 . 已知数列，满足，，，．
（1）证明：为常数数列，且．
（2）设数列的前项和为，证明：．