3 . 已知，且，函数.
(1)记为数列的前项和.证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若有3个零点，求实数的取值范围.

5 . 若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．

6 . 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.

8 . 数列项数为，我们称为的“映射焦点”，如果满足：①；
②对于任意，存在，满足，并将最小的记作；
(1)若，判断时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？
(2)若时，是映射焦点，证明：的最大值为4；
(3)若，，求的最小值.

9 . 设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足：
①，，…，均非空；
②，，…，中任意两个集合交集为空集；
③．
则称，，…，为集合A的一个m阶分拆．
(1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值；
(3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．

10 . 已知数列，，…，的各项均为整数，且对任意的，2，…，，都有．将A的所有项之和记为．
(1)若，，求的最大值；
(2)若，求证：；
(3)设．将所有符合题意且的数列A的总个数记为M，判断M是否为4的倍数，并说明理由．