1 . 已知等差数列中，，前项和为且满足条件：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为有，，又，求数列的前项和．

2 . 已知等差数列的公差为,首项为正数，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）是否存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列．

3 . 已知无穷等比数列公比为，各项的和等于9，数列各项的和为．对给定的，设是首项为，公差为的等差数列．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前10项之和；
（3）设为数列的第项，，求正整数，使得存在且不等于零．

4 . 已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：.
（Ⅰ）若，数列的前n项和为S_n，求S₁₉的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由.
①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则；
③如果数列是等比数列，则.

5 . 已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

6 . 已知数列，，，.记.，求证：当时，（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）

7 . 各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式成立，求实数的范围．

8 . 已知函数，，对于任意的，都有.
（1）求的取值范围
（2）若，证明：（）
（3）在（2）的条件下，证明：

9 . 已知数列满足：，且．
（1）设，求证是等比数列；
（2）（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求证：对于任意都有成立