1 . 已知等比数列的前项和为.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，且当时，或的所有可能的值按从小到大排列组成新的数列.
（i）当时，求的所有项；
（ii）对于任意给定的正整数，求的所有项的和.

2 . 对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.
(1)设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
(2)设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.

5 . “友谊杯”围棋擂台赛采取淘汰制，现有名选手报名参加比赛（含甲、乙两名选手），规则如下：第一轮将所有报名选手任意两两配对对弈，输者淘汰出局，然后将剩下的名胜者再任意两两配对对弈，同样输者淘汰出局……如此下去，直至第轮比赛决出一名冠军．假定每名选手在各轮比赛中获胜的概率均为0.5．
(1)当时，求甲、乙两人相遇对弈的概率；
(2)当时，求甲、乙两人相遇对弈的概率；
(3)已知当擂台赛报名选手人数分别为时，甲、乙两人相遇对弈的次数依次是，记，若随机变量服从两点分布，且，，求．

6 . 设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（       ）．

A．的解析式可能为

B．若，则

C．若在上是增函数，则

D．若，则

7 . 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项.
(1)若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”；
(2)若满足，且为等比数列，的“次生数列”为.
（i）求的值；
（ii）求的前项和.