1 . 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．

2 . 设集合为的非空子集，随机变量X，Y分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值.
(1)若的概率为，求；
(2)若，求且的概率；
(3)求随机变量的均值.

7 . 当，且时，我们把叫做数列的子数列．已知为正项等比数列，且其公比为．
(1)直接给出与的大小关系．
(2)是否存在这样的满足：成等比数列，且子数列也成等比数列？若存在，请写出一组的值；否则，请说明理由．
(3)若，证明：当，时，有．

9 . 定义1   进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如．
定义2   三角形数：形如，即的数叫做三角形数．
(1)若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；
(2)若是完全平方数，求的值；
(3)已知，设数列的前项和为，证明：当时，．

10 . 设有穷数列的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列满足下列两个条件，则称其为阶“数列”：①；②.
(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列，求；
(2)若阶“数列”是等比数列，求的通项公式（，用表示）；
(3)设阶“数列”的前项和为，若，使得，证明：数列不可能为阶“1数列”.