1 . 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：
(1)求复数，的模和辐角主值（用表示）；
(2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？
(3)求和：

2 . 已知正项数列的前n项和为，且满足                .
(1)求的通项公式；
(2)已知 设数列的前n项和为当n∈时，，求实数 λ 的范围.
条件:①，且 等差数列；②； ③请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.

3 . 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；
(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.

4 . 某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．

5 . 某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（       ）

A．

B．

C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094

D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则

6 . 甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题
等比数列的前n项和为，已知______．
(1)判断，，的关系；
(2)若，设，记的前项和为，证明：．

7 . 规定摸球试验规则如下：盒子中装有一个白球和两个红球，每人有放回地任取一个，摸到白球得1分，摸到红球得2分．
(1)已知有n个人参加了这个摸球试验，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(2)已知若干人参加了这个摸球试验，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，证明为等比数列，并求数列的通项公式．

8 . 下图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形，每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变.若第一个三角形的面积为1，第n个图中白色部分的面积记为，则______.著名的卢卡斯数列满足，，，中所有既是偶数，又是3的倍数的项从小到大排列构成一个新的数列，该数列的第n项为，则数列的前n项和______.

9 . 在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（       ）

A．	B．
C．	D．

10 . 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.