1 . 已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为__________．

2 . 在①，，成等比数列，②，③数列的前10项和为55.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知等差数列的前项和为，公差，且__________
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前2023项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3 . 记正项数列的前项积为，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.

4 . 已知数列，，记为的前项和，，记，，为的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)对，使得恒成立，求的最小值.

5 . 数列满足，且对于任意的都有，则等于______．

7 . 数列满足且．证明：其中无理数．

8 . 在平面上有一系列的点，对于正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且．
(1)判断数列是否为等差数列；
(2)设的面积为，求证：．

9 . 已知函数.数列.
(1)请判断方程在区间上的根的个数，并说明理由；
(2)是否是轴对称函数，如果是，求出对称轴；若不是，说明理由；
(3)求证：.

10 . 已知数列满足：．
(1)求的通项公式；
(2)记，
（i）求的值；
（ii）求证：．