1 . （1）已知a，b，x均为正数，且，求证：
（2）已知a，b，x均为正数，且，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明
（3）证明：中，，（可直接应用第（1）（2）小题的结论）

2 . 已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设函数有两个极值点，求证：.

3 . 已知：三角形的边长分别等于．求证：．

4 . 已知函数，其中.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)证明：函数存在唯一零点；
(3)设，证明：.

5 . 已知数列，满足，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)设数列的前n项和为，求证：．

6 . 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.

7 . 若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点.
（1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点；
（2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点；
（3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x₁是区间的λ₁一内点，x₂是区间的λ₂一内点，且不等式x₁²≤ωa²+（1﹣ω）b²和不等式x₂²≤（1﹣ω）a²+ωb²对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ₁+λ₂＝1.

8 . 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a_m，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b_i，j≥b_i+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.
表1

a1，1	a1，2	…	a1，20
a2，1	a2，2	…	a2，20
…	…	…	…
a40，1	a40，2	…	a40，20

表2

b1，1	b1，2	…	b1，20
b2，1	b2，2	…	b2，20
…	…	…	…
b40，1	b40，2	…	b40，20

（1）判断是否存在表1，使得表2中的b_i，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2^﹣j呢？（结论不需要证明）
（2）如果b_40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b_i，j﹣b_i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b_m，n﹣b_m，n+1≥2成立，证明：b_1，1≥78；
（3）若a_i，1+a_i，2+…+a_i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有b_i，1+b_i，2+…+b_i，20≤19成立.

9 . 若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离1且，求实数的取值范围；
（2）设，其中，求证：比更远离；
（3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由．

10 . 已知函数（）
（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；
（2）求证：．