1 . 已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明．

2 . 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性，并予以证明.
（2）求使不等式成立的的取值集合.

3 . 已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使不等式，对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

4 . 已知等差数列的首项为p，公差为，对于不同的自然数，直线与轴和指数函数的图象分别交于点与（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.

（1）求证：数列是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设的公差，是否存在这样的正整数，构成以，，为边长的三角形？并请说明理由；
（3）设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和？并请说明理由.

5 . 定义区间的长度均为,其中
(1)若函数的定义域为值域为写出区间长度的最大值；
(2)若关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6,求实数的取值范围；
(3)已知求证:关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值.

6 . 已知数列中，，，的前项和为，且满足（）.
（1）试求数列的通项公式；
（2）令，是的前项和，证明：；
（3）证明：对任意给定的，均存在，使得时，（2）中的恒成立.

7 . 已知是定义在上的奇函数，且，若且时，有成立．
（1）判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式；
（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．

8 . 设函数（，实数）.
(1)若 ，求实数的取值范围；
(2)求证：.

9 . 设
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.