1 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?如果存在，写出一个符合条件的“优美区间”.（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.

2 . 已知二次函数，其中．
(1)若且，
①证明：函数必有两个不同的零点；
②设函数在轴上截得的弦长为，求的取值范围；
(2)若且不等式的解集为，求的最小值．

3 . 设，已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围.

4 . 已知，是的反函数．
(1)若，求的最小值；
(2)设，若有两个不等正根，，求证：且．

5 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值；
(3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.

6 . 设二次函数，其中a､b､.
（1）若，，且关于x的不等式的解集为，求a的取值范围；
（2）若a､b､，且､均为奇数，求证：方程无整数根；
（3）若，，，求证：方程有两个大于1的根的充要条件是.

7 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若、且，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

8 . 已知函数，若函数在上存在两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.

9 . 若，设其定义域上的区间（）.
（1）判断该函数的奇偶性，并证明；
（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；
（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.

10 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．