1 . 若函数在区间上满足对任意成立，则称为上的“可加函数”.
(1)若在区间上的“可加函数”单调递减，证明：；
(2)若对任意及满足的正实数，都有，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数，对任意及满足的正实数，都有，证明：对任意及满足的正实数，都有；
(3)设随机变量的可能取值为，记，则. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量时提供的信息量为，在实际应用中常取等. 定义信息熵为信息量的数学期望，证明：当时，.

2 . 设为空间直角坐标系中的一个非空闭凸集，即，且若，则对任意有，且对任意的，都存在，使得，这里为线段的长度．称的下确界或最大下界为，定义为小于等于在中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为．已知若为闭集，则为开集.
(1)设点，，证明：为非空闭凸集，并求．
(2)证明：对任意，存在唯一的一个，使得；
(3)证明：对任意，存在非零向量以及实数，使得对任意，都有：．

3 . 若函数在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）
(2)利用（1）中的结论，在中，求的最大值；
(3)证明函数是上凸函数．

4 . 已知数列和满足：.
(1)设求的值；
(2)设求数列的通项公式；
(3)设证明：______.
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

5 . 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
(1)数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值；
(2)依据的数值写出数列的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列前项的和；
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明：对任意的正整数，都有.（本小题数列不同于第（1）（2）小题）

6 . 已知，且，则（       ）

A．	B．
C．	D．若，则

7 . 目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为，
其中．
注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①；
②当时，；
③当时，若，则．
其中所有正确结论的序号是___________．

8 . 某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价，再降价：②先降价，再降价；③先降价，再降价；④一次性降价.其中，则最终降价幅度最小的方案是（       ）

A．①

B．②

C．③

D．④

9 . 圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（       ）．

A．若，则点的轨迹为圆

B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分

C．存在唯一的一组点，使得

D．的取值范围是

10 . 已知直线交曲线于第一象限的，两点， ，O为坐标原点，过A，B分别作曲线的切线，斜率分别为，，则（       ）

A．k的取值范围是	B．，使A为OB的中点
C．	D．，使得两切线互相垂直