基本（均值）不等式求最值练习题及答案-广州高中数学-组卷网

23-24高二下·重庆·阶段练习

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

正弦定理边角互化的应用余弦定理解三角形数量积的运算律基本不等式求和的最小值

名校

解题方法

边角转化利用基本不等式求范围问题

1 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当

的三个内角均小于

时，使得

的点

即为费马点；当

有一个内角大于或等于

时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知

的内角

所对的边分别为

，且

(1)求

；
(2)若

，设点

为

的费马点，求

；
(3)设点

为

的费马点，

，求实数

的最小值．

2024-03-03更新 | 4331次组卷 | 36卷引用：广东省广州市白云艺术中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

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23-24高二上·广东广州·期中

多选题 | 较难(0.4) |

基本不等式求和的最小值轨迹问题——圆椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值椭圆中三角形（四边形）的面积

名校

解题方法

面积问题范围问题

2 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆

，

分别为椭圆的左、右焦点，直线

的方程为

，

为椭圆

的蒙日圆上一动点，

，

分别与椭圆相切于A，

两点，

为坐标原点，下列说法正确的是（）

A．椭圆

的蒙日圆方程为

B．记点A到直线

的距离为

，则

的最小值为0

C．一矩形四条边与椭圆

相切，则此矩形面积最大值为

D．

的面积的最大值为

2023-12-05更新 | 501次组卷 | 2卷引用：广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

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23-24高一上·广东广州·期中

单选题 | 较易(0.85) |

基本不等式求和的最小值

名校

解题方法

利用基本不等式或柯西不等式求最值

3 . 基本不等式是均值不等式“链”

中的一环（

时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求

的最小值我们可以这样处理：

，即

，当且仅当

时等号成立.那么函数

（

）的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

2023-11-08更新 | 220次组卷 | 2卷引用：广东省广州市第五中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

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22-23高一下·广东广州·期末

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

三角恒等变换的化简问题正弦定理边角互化的应用余弦定理边角互化的应用基本不等式求积的最大值

名校

解题方法

三角恒等变换与解三角形结合问题边角转化

4 . 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：

，这个公式常称为海伦公式.其中，

.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：

，这个公式常称为“三斜求积”公式.
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式

；
(2)在

中，

，

，求

面积的最大值.

2023-07-06更新 | 835次组卷 | 4卷引用：广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

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2023·新疆·模拟预测

单选题 | 适中(0.65) |

求三角形中的边长或周长的最值或范围基本不等式求和的最小值三角函数与解三角形

名校

解题方法

利用基本不等式求范围问题

5 . “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角