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1 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知
，
，
分别是三个内角
，
，
的对边，且
，若点
为的费马点，
，则实数
的取值范围为________ .
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为
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2 . 一般地，对任意角
，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为
，它与原点的距离是
．我们规定：比值
，
，
分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作
，
，
，即
，
，
，把
，
，
分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.
（1）已知
，则
的最大值为_______ ；
（2）设
，则
的最小值为________ ．
，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.（1）已知
，则的最大值为（2）设
，则的最小值为
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3 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
，则其蒙日圆方程为__________ ，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则
面积的最大值为__________ .
，则其蒙日圆方程为为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为
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4 . 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若
，
，
，图中两个阴影三角形的周长分别为
，
，则
的最小值为________ .
，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为
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2024-01-10更新
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346次组卷
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2卷引用：2024届河南省名校学术联盟高考模拟信息卷&押题卷数学（三）
解题方法
5 . 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则
．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门900步能见到此树，则该小城的周长的最小值为_____________ 里（注：1里
300步）
．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门900步能见到此树，则该小城的周长的最小值为300步）
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 卡西尼卵形线是由到两个定点（焦点）距离之积为常数的所有点组成的图形.已知卡西尼卵形线R：
的左、右焦点分别为
，
，点P在曲线R上，
.若曲线R与y轴有交点，且存在点P满足
，则
的取值范围是______ .
的左、右焦点分别为，，点P在曲线R上，.若曲线R与y轴有交点，且存在点P满足，则的取值范围是
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名校
7 . 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径
，需要剪去四边形
，可以经过对折、沿
裁剪、展开就可以得到．在圆上且
．要使得镂空的四边形面积最小，
的长应为_____ 
．
，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到．
在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为．
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2022-09-11更新
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1593次组卷
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6卷引用：江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试（零模）数学（理）试题
江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试（零模）数学（理）试题辽宁省沈阳市小三校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题4 三角函数与解三角形吉林省白山市抚松县抚松县第一中学2023届高三二模数学试题（已下线）【练】专题8 三角函数中的新定义、数学文化问题（已下线）压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题9题型汇总-1
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解题方法
8 . “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列
由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为
，则
的最小值为___________ ．
由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为
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2023-01-12更新
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378次组卷
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3卷引用：陕西省西安市第三十八中学2022-2023学年高三上学期一模数学试题(文科)
解题方法
9 . 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数
满足
，且
恒成立，则实数的取值范围是__________ .
满足，且恒成立，则实数的取值范围是
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名校
10 . 弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，它脱胎于古代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建立如图所示坐标系，
恰为左焦点，
均匀对称分布在上半个椭圆弧上(
在
上的投影把线段八等分)， 
为琴弦，记
，数列前n项和为，椭圆方程为
，且
，则
的最小值为_____
恰为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上(在上的投影把线段八等分)， 为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则的最小值为
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2022-11-23更新
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465次组卷
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2卷引用：湖南省郴州市原创试题评比参评2022届高三高考模拟数学试题（安仁一中命制）
