1 . 在三棱锥中，，为锐角三角形，与底面所成角的正切值为，则该三棱锥内切球的半径与外接球的半径之比为______．

2 . 在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCMN．若点均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________．

3 . 已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______．

4 . 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球表面上，，，则三棱锥的内切球半径为__________；若，则三棱锥体积的最大值为__________．

5 . 在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为__________

6 . 已知三棱锥，面，，交于，交于，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，则________.

7 . 已知三棱锥中，，，，二面角的余弦值是．则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是________．

8 . 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.

9 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.
① 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a

   

② 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
③ 勒洛四面体中过三点的截面面积为
④ 勒洛四面体的体积
上述命题中正确的是__________

10 . 已知四面体的四个顶点都在半径为2的球面上，若，则四面体的体积的最大值为_______________．