1 . 如图所示，正方体的棱长为a．

(1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．

2 . 一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开：

（1）使直线和平行于截面，在木块表面应该怎样画线（保留作图痕迹，简要说明）．
（2）若是的重心，在条件（1）下求锯开的两个多面体的体积之比，

3 . 有下面两组几何体，根据要求填写所有符合条件的序号．
第①组：两个三棱锥分别是下图（左）中的和下图（右）中的．
   
第②组：两个均由棱长为1的正方体组成的组合体.
   
其中，第_________组中的两个几何体的体积相同，第_________组中的两个几何体不同．（两个几何体相同指的是它们可以通过整体平移或旋转后重合．）

4 . 如图，有一边长为2cm的正方形，分别为、的中点.按图中的虚线翻折，使得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：

①三棱锥的表面积为；                 
②三棱锥的体积为；
③三棱锥的外接球表面积为；     
④三棱锥的内切球半径为.
则以上结论中，正确结论是______________ . （请填写序号）

5 . 南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等.其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题.如图所示，正方体，棱长为.

(1)求图中四分之一圆柱体的体积；
(2)在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；
(3)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点在棱上，设.过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；
(4)如果令，求出八分之一“牟合方盖”的体积.

6 . 一块三棱锥形木块如图所示，点是的重心，过点将木块锯开，使截面平行于侧面.

(1)画出截面与木块表面的交线，并说明理由；
(2)若为等边三角形，，求夹在截面与平面之间的几何体的体积.

7 . 下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某平面多边形，现将该图形绕的垂直平分线旋转180°，则所得几何体的体积为（       ）
（注：圆台的体积，其中，分别是上､下底面半径，是高）

A．35π

B．36π

C．37π

D．39π

8 . （1）如图1，正四棱锥，．

（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．