1 . 如图，在正三棱锥中，，点满足，，过点作平面分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且，.

(1)证明：，四边形总是矩形；
(2)若，求四棱锥体积的最大值.

2 . 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．

(1)求四面体的体积；
(2)试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？

3 . 如图，四面体中，．
   
(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．

4 . 四面体三组对棱长分别为；；，证明：四面体的内切球半径．
(其中，，
，
，，
，
，
．)

5 . 求证：侧棱长为的一切三棱锥中，侧棱两两垂直的三棱锥体积最大．

6 . ，在平面所围成的区域内取一定点S，使它到三条射线的距离相等，过S点作一平面和射线交于M、N、P，求证：是一定值．

7 . 两条异面直线上分别有定长的两线段，求证四面体的体积为定值．

8 . 在四面体中，为中点，为外接球的球心，.
(1)证明：；
(2)若，求四面体体积的最大值.

9 . 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，.
   
(1)求证：平面；
(2)若，，求三棱锥的体积.

10 . 若非零向量所在直线垂直于平面，则称垂直于平面；垂直于平面的任一非零向量，称为平面的法向量；垂直于平面且长度为1的向量，叫做平面的单位法向量．运用上述概念，试解答下列问题：
(1)直线PA斜交平面于，点在直线PA上，是垂直于平面的单位法向量，试叙述的几何意义．
(2)在长方体中，，求到平面的距离．
(3)在正方体中，、分别为，的中点，且正方体的棱长为2．
①求证：平面平面；
②求三棱锥的体积．