1 . 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且.

（1）求证：平面；
（2）记线段的中点为K，在平面内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.

2 . 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为．

(1)证明：平面；
(2)证明：．

3 . 如图，半圆的半径为2，点四等分半圆，点分别是上的点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥，使得，且平面平面.

(1)证明:;
(2)若平面平面，证明:;
(3)求四棱锥的体积.

4 . 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：

(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

5 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，.

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

6 . 如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD是梯形，，，E是PD的中点.

   

(1)求证：平面PAB；
(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使平面PAB？说明理由.

7 . 如图所示，等边所在平面与菱形所在平面相垂直，，，，

   

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.

8 . 如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，为线段三等分点（靠近点），.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

9 . 如图1，在等腰梯形中，分别是的中点，，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2.

(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

10 . 图，在正三棱柱中，O为与的交点，M为的中点，．

(1)证明：平面；
(2)若G为线段FC上一动点，在平面上是否存在一点N，使得平面恒成立？若存在，请找出点N位置并证明平面；若不存在，请说明理由．