名校
1 . 已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且
，
，沿MN将△AMN折起到
的位置，使
．
(1)求证：
平面MBCN；
(2)在线段BC上是否存在点D，使平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？若存在，设
，求
的值；若不存在，说明理由．
，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．(1)求证：
平面MBCN；(2)在线段BC上是否存在点D，使平面
与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由．
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2022-03-22更新
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3713次组卷
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7卷引用：河南省洛阳市2021-2022学年高三第二次统一考试理科数学试题
名校
解题方法
2 . 如图，圆台下底面圆
的直径为
， 
是圆上异于
的点，且
，
为上底面圆
的一条直径，
是边长为
的等边三角形，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面和平面
夹角的余弦值.
的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.(1)证明：
平面；(2)求平面
和平面夹角的余弦值.
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2022-05-17更新
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1859次组卷
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10卷引用：山东省肥城市2022届高三下学期高考适应性训练数学试题（二）
山东省肥城市2022届高三下学期高考适应性训练数学试题（二）湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期第一次月考试卷数学（理）试题山东省德州市第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题四川大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中（半期）考试数学理科试题福建省南安市柳城中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题福建省厦门第一中学2022-2023学年高三五模数学试题江西省宜春市上高二中2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题湖北省荆州市松滋一中2024届高三上学期12月月考数学试题湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考（五）（1月期末）数学试卷
名校
3 . 如图，四边形ABCD为梯形，
，
，
，点
在线段
上，且
．现将
沿
翻折到
的位置，使得
．
(1)证明：
；
(2)点
是线段
上的一点（不包含端点），是否存在点，使得二面角
的余弦值为
？若存在，则求出
；若不存在，请说明理由．
，，，点在线段上，且．现将沿翻折到的位置，使得．(1)证明：
；(2)点
是线段上的一点（不包含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．
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2022-03-15更新
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3289次组卷
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9卷引用：湖南省常德市临澧县第一中学2021-2022学年高三下学期第九次阶段性考试数学试题
名校
4 . 如图①，在梯形ABCD中，
，
，
，
，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将
沿BE折起到
的位置，如图②.
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
平面BCDE，求二面角
的余弦值.
，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，如图②.(1)证明：
平面；(2)若平面
平面BCDE，求二面角的余弦值.
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2022-02-03更新
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1633次组卷
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4卷引用：安徽省黄山市2022届高三上学期第一次质量检测理科数学试题
名校
解题方法
5 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，F为棱
上一点，
，连接AF，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
中，，，F为棱上一点，，连接AF，．(1)证明：平面
平面；(2)求平面
与平面所成锐二面角的余弦值．
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解题方法
6 . 在三棱柱中，侧面
和侧面是都是边长为2的菱形，D是
中点，
，
(1)求证：
平面BCD；
(2)求二面角
的余弦值．
中，侧面和侧面是都是边长为2的菱形，D是中点，，(1)求证：
平面BCD；(2)求二面角
的余弦值．
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名校
7 . 在
中，
，
，
，D、E分别是AC、AB上的点，满足
且DE经过
的重心，将沿DE折起到
的位置，使
，M是
的中点，如图所示.
(1)求证：
平面BCDE；
(2)求CM与平面
所成角的大小；
(3)在线段
上是否存在点N（N不与端点
、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出
与BN的比值；若不存在，请说明理由.
中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.(1)求证：
平面BCDE；(2)求CM与平面
所成角的大小；(3)在线段
上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.
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2021-11-14更新
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3257次组卷
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18卷引用：上海交通大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
上海交通大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题山东省枣庄市滕州市第一中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题上海市上海师范大学附属外国语中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题山东省邹平市第一中学2021-2022学年高三上学期模拟新高考一卷数学试题重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）专题15 立体几何(练习)-2陕西省西安中学2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题（已下线）上海高二上学期期中【常考60题考点专练】（2）上海市川沙中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题四川省资中县第二中学2022-2023学年高二上学期10月月考理科数学试题（已下线）高二下期中真题精选（常考60题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）高二上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）安徽省桐城中学2023-2024学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题上海外国语大学附属浦东外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）期中真题必刷常考60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（3）（已下线） 第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
名校
解题方法
8 . 为了求一个棱长为
的正四面体的体积，某同学设计如下解法.
解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体
为棱长是的正四面体，且有
.
（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为
，
，
，求此四面体的体积；
（2）对棱分别相等的四面体
中，
，
，
.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）有4条长为2的线段和2条长为
的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
[参考公式：三元均值不等式
及变形
，当且仅当
时取得等号]
的正四面体的体积，某同学设计如下解法.解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体
为棱长是的正四面体，且有.（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为
，，，求此四面体的体积；（2）对棱分别相等的四面体
中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）有4条长为2的线段和2条长为
的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？[参考公式：三元均值不等式
及变形，当且仅当时取得等号]
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2021-07-15更新
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814次组卷
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2卷引用：重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 如图在直三棱柱中，
，
，
，E是上的一点，且
，D、F、G分别是
、
、
的中点，EF与
相交于H．
平面
；
(2)求证：平面
平面；
(3)求平面EGF与平面的距离．
中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．
平面；(2)求证：平面
平面；(3)求平面EGF与平面
的距离．
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2022-01-02更新
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1948次组卷
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16卷引用：内蒙古翁牛特旗乌丹第二中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题
内蒙古翁牛特旗乌丹第二中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题【新教材精创】1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题（1）教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册【新教材精创】1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题（1）导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学2020-2021学年高二上学期月考数学试题（已下线）1.4.2 空间向量的应用（二）（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教版A版）辽宁省大连市第二十三中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题福建省厦门市国祺中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题内蒙古通辽市开鲁县第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）微专题17 空间中的五种距离问题（1）（已下线）专题10 空间角、距离的计算-期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）广东省阳江市2021-2022学年高二上学期期末数学试题河北省石家庄二十二中2023-2024学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题（已下线）专题8.9 空间角与空间距离大题专项训练-举一反三系列（已下线）专题8.11 立体几何初步全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列天津市新华中学2023-2024学年高一下学期随堂练习（2）（月考）数学试卷
名校
10 . 等腰梯形，
，
，点E为的中点，沿将
折起，使得点D到达F位置．
(1)当
时，求证：
平面
；
(2)当
时，过点F作
，使
，当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求λ的值．
，，，点E为的中点，沿将折起，使得点D到达F位置．(1)当
时，求证：平面；(2)当
时，过点F作，使，当直线与平面所成角的正弦值为时，求λ的值．
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2021-11-05更新
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1855次组卷
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4卷引用：重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题变式题17-22
