1 . 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：
这个代数问题可以转化为点
与点
之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程
的解为__________ .
这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为
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2 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为
，在
的两边上截取
，连接
，在线段上取一点
，使得
，记
的中点为
，以为中心，
为顶点作离心率为2的双曲线
，以为圆心，
为半径作圆，与双曲线左支交于点
（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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3 . 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为
，
，将军的出发点是点
，军营所在位置为
，则下列说法错误的是（ ）
，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 |
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 |
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 |
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 |
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4 . 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知
的顶点
，若其欧拉线的方程为
，
(1)求三角形
外心的坐标；
(2)求顶点
的坐标.
的顶点，若其欧拉线的方程为，(1)求三角形
外心的坐标；(2)求顶点
的坐标.
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5 . 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点
，直线
，动点
到点
的距离是点到直线
的距离的
．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（ ）
，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（ ）A．点的轨迹方程是 |
B．直线 是“最远距离直线” |
C．点的轨迹与圆 没有交点 |
D．平面上有一点 ，则 的最小值为11 |
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6 . 费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（
为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分
.已知双曲线
的左､右焦点分别为，直线为在其上一点
处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
是双曲线（为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线为在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）A．的一条渐近线与直线 相互垂直 |
B．若点 在直线上，且 ，则 （为坐标原点） |
C．直线的方程为 |
D．延长 交于点，则 的内切圆圆心在直线 上 |
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2024-03-27更新
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536次组卷
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2卷引用：河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题
解题方法
7 . 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
．若将军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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解题方法
8 . 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆
（
）上任意两个动点，动点P在直线
上，若
恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为______
（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为
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2023-12-30更新
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920次组卷
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6卷引用：山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学试题
9 . “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离为：
.已知点在圆
上，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-12-03更新
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1489次组卷
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6卷引用：安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二上学期二调考试（12月）数学试题
安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二上学期二调考试（12月）数学试题（已下线）河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高二上学期1月测试数学试题河北省部分学校2024届高三上学期摸底考试数学试题（已下线）压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）（新高考新结构）2024年高考数学模拟卷（三）新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2023-2024学年高二下学期数学开学考试数学试卷
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10 . 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为
，
，
，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-11-17更新
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374次组卷
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3卷引用：江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期期中数学试题
