1 . 已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，动直线与在第一象限内交于B，C两点，连接，.
(1)求E的方程；
(2)若，证明：动直线过定点.

2 . 已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.

3 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.

4 . 已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，.求抛物线的方程，并证明:.

5 . 已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点．P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：分别交于M，N两个不同的点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)设直线l与x轴交于R，若P，F，Q三点共线，求证：与相似．

6 . 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线.

7 . 已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．

8 . 已知是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.

9 . 已知焦点在轴上的椭圆：的长轴长为4，的右顶点到右焦点的距离为1.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，直线与椭圆交于不同的两点，，（，两点都在轴上方），为坐标原点，且.证明直线过定点，并求出该定点坐标.

10 . 已知椭圆C：，过点作两条直线，这两条直线与椭圆C的另一交点分别是M，N，且M，N关于坐标原点O对称.设直线AM，AN的斜率分别是，.
(1)证明：.
(2)若点M到直线AN的距离为2，求直线AM的方程.