1 . 如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于，两点，点是点关于原点的对称点．

(1)设点分有向线段所成的比为，证明：；
(2)设直线的方程是，过，两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程．

2 . 已知，直线，．
(1)证明：到、的距离的平方和为定值的点的轨迹是圆或椭圆；
(2)求到、的距离之和为定值的点的轨迹．

3 . 用解析法证明：直径所对的圆周角是直角．

4 . 已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

5 . 如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．

（1）   求抛物线E的方程；
（2）   设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点

6 . 设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
（1）求实数的取值范围；
（2）求圆的方程；
（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．

7 . .已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F₁(－c,0)，F₂(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足＝2a.点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足，
(1)设x为点P的横坐标，证明＝a＋x；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S＝b²？若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.

9 . 已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．