2 . 设椭圆的左焦点，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围．

3 . 已知椭圆，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率，点P为该椭圆上一点，且△F₁PF₂的面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.

4 . 已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.

5 . 已知椭圆的焦距为，直线与在第一象限的交点的横坐标为3．
(1)求的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，试探究直线与直线能否关于直线对称．若能对称，求此时直线的斜率；若不能对称，请说明理由．

6 . 已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”．

(1)已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程．
(2)对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）．
①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值．

7 . 已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点．设圆心P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若，过点的直线l与曲线Γ交于M，N两点，连接分别交y轴于P、Q．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

8 . 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（     ）

A．

B．

C．1

D．

9 . 已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（       ）

A．2

B．

C．

D．

10 . 已知椭圆的离心率是，左､右顶点分别为，过线段上的点的直线与交于两点，且与的面积比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点.证明：点在定直线上.