1 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.

2 . 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

3 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

4 . 在直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为的直线交椭圆于A，B
(1)求椭圆的标准方程
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值；
(3)设点A，B关于原点对称的点分别为C，D，求四边形ABCD面积的最大值.

5 . 已知椭圆，离心率，过点．
(1)求的方程；
(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．

6 . 已知点M为椭圆上的任一点，它与此椭圆的短轴两端点、的连线分别交x轴于点P、Q．求证：为定值．（O为坐标原点）

7 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

8 . 已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．

9 . 已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．

10 . 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.