1 . 如图，已知圆，点，P是圆上的一动点，N是上一点，M是平面内一点，满足，．

（1）求点N轨迹的方程；
（2）若均为轨迹上的点，且以为直径的圆过Q，求证：直线过定点．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于、、、，且，分别是弦，的中点.
（1）求椭圆的方程.
（2）求证：直线过定点.
（3）求面积的最大值.

3 . 已知圆切线与椭圆相交于、两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：.

4 . 已知椭圆，，分别为左右焦点．O为坐标原点，过O作直线交椭圆于A，B两点，若△周长的最小值为，面积的最大值为1．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线交椭圆E于M，N两点，
（i）若且的面积为，求m的值．
（ii）若x轴上任意一点到直线与的距离均相等，求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．

5 . 已知圆和定点，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线交于不同两点、，直线，分别交轴于，两点．求证：．

6 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为A，右顶点为B.点在椭圆C内，且直线与直线垂直.
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以为直径的圆过点.

7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点.
（i）当时，求点的纵坐标；
（ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的长轴长为，且椭圆两准线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁＋k₂为定值．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不过点的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．

10 . 已知椭圆的离心率为，的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.