1 . 已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程．
（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P．若，且点Q满足，求面积的最小值．

2 . 著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“”形状的曲线，它由抛物线的一部分和椭圆的一部分构成（如图1）．已知在平面直角坐标系中，：和：交于，两点，是公共焦点，，（如图2）．

（1）求和的方程；
（2）过点作直线与“”形状曲线依次交于，，，四点，若，求实数的取值范围．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点．当直线垂直于轴时，．

（1）求，的值；
（2）设直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．
①若，求的面积；
②是否存在轴上的一定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 椭圆过点，其上､下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.

5 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．

（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．

6 . 已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

7 . 设中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点，F为C的右焦点，⊙F的方程为
（1）求C的方程；
（2）若直线与⊙O相切，与⊙F交于M、N两点，与C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，记⊙O的面积为，求取最大值时，直线l的方程.

8 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率分别为.
①若，求证：直线过定点；
②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.

9 . 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.