1 . 如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下.
   
给出下列四个结论：
①点处于的控制下；
②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下；
③若处于的控制下，则；
④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为.
其中所有正确结论的序号是_________.

2 . 在平面直角坐标系中，二元方程的曲线为，若存在一个定点和一个定角，使得曲线上的所有点以为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线为旋转对称曲线.给出以下方程及其对应的曲线:
；                                     
                    
其中是旋转对称曲线的是__（填上所有符合题意的曲线）.

3 . 平面二次曲线方程的一般形式为．已知曲线表示中心在坐标原点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆上，则该矩形面积的最大值为______.

4 . 在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：
①曲线上的点关于轴，轴对称；       ②曲线上两点间的最大距离为；
③的取值范围为；       ④曲线围成的图形的面积小于．
则以上命题中正确的序号有______．

5 . 数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，给出下列四个结论：
①曲线不经过第三象限；
②曲线关于直线轴对称；
③对任意，曲线与直线一定有公共点；
④对任意，曲线与直线一定有公共点．
其中所有正确结论的序号是________________．

6 . 古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．
小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：
给定条直线，，，动点到直线、和的距离分别为、和，且满足，记动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为；
③平面内存在两个定点，曲线上有无数个点到这两个定点的距离之差为；
④的最小值为．
其中所有正确结论的序号是___________．

7 . 星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，

①星形线关于对称
②星形线图像围成的面积小于
③星形线上的点到轴，轴距离乘积的最大值为
④星形线上的点到原点距离的最小值为
上述说法正确的是有_________.

8 . 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，笛卡尔心形线更是永恒的经典.曲线为C：（是正整数）也是其中之一，下列说法正确的是______
（1）曲线C是一条封闭曲线
（2）当时，曲线C在第一象限图象与坐标轴围成的面积是
（3）越大，曲线C在第一象限图象与坐标轴围成的面积也越大
（4）曲线C可能没有对称轴

9 . 已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为______．

10 . 冰雪为媒，共赴冬奥之约，2022北京冬奥会正如火如荼的举行．本次冬奥吉祥物“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．我们可以近似将“冰墩墩”的身体看作一个超椭圆C：，其中为黄金分割比，大小近似为0.618，则C与坐标轴的交点数为__________．