1 . 已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点．

2 . 已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.

3 . 已知椭圆：的长轴长为，且其离心率小于，为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，是（为坐标原点）的中点，且.
(1)求的方程；
(2)不过坐标原点的直线与椭圆相交于两点（异于椭圆的顶点），直线与轴的交点分别为，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

5 . 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的短轴长为2，点是左，右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是坐标原点，直线经过点，并且与椭圆交于直线与直线交于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值．

6 . 已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．

7 . 已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：为定值．

8 . 在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.

9 . 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

10 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．