1 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线过点交椭圆于两点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值．

2 . 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．

3 . 已知椭圆.

（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；
（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆 相交于、 两点，且，试判断 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

5 . 已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，，试求，满足的关系式.

6 . 设非零向量，，规定：，点分别是椭圆：的上顶点和右顶点，且，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线交于不同两点，又点，当时，求实数的取值范围.

7 . 设非零向量，，规定：，是椭圆：的左、右焦点，点分别是其上顶点、右顶点，且，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过焦点的直线交椭圆于点，求的取值范围.

8 . 已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与圆相交于、，与椭圆相交于、，且，求．

9 . 已知椭圆过点，其离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，直线交于两点（异于点），若在上，且，，证明直线过定点．

10 . 已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.