1 . 已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求直线的方程.

2 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.

3 . 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程.

4 . 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

5 . 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程.

6 . 已知椭圆的离心率为，若圆被直线截得的弦长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得 为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆：的离心率是,过的右焦点且垂直于椭圆的长轴的直线交椭圆于两点,且.
(1)求椭圆方程；
(2)过点的动直线与椭圆交于不是顶点的两点,试判断是否为定值,若是,求出定值,若不是请说明理由.

8 . 已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于、两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.

9 . 设是椭圆（）的左焦点，是上一点，且与轴垂直，若，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的左顶点为的直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值.

10 . 已知椭圆的离心率为，圆经过椭圆的焦点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与曲线自上而下依次交于点，若求直线的方程.