1 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．
（i）若，求的值；
（ii）若点的坐标为，求证：为定值．

2 . 椭圆的离心率为，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．

3 . 已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积．

4 . 焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为__________.

5 . 已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．

(1)求的方程．
(2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：

①直线，的斜率之积为定值；

②．

6 . 已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，连接，若直线的一个方向向量为，求的面积．

8 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6．
(1)求C的标准方程；
(2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的两焦点分别为，，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，，满足.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．