1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为．若在椭圆上存在点使得，则的取值范围为______．

2 . 设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为______．

3 . 已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A，B，直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为_______ .

4 . 过椭圆的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.

5 . 已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则___________．

6 . 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：，则的蒙日圆的方程为________；在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是________.

7 . 已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为_______．

8 . 勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形（如图），已知椭圆的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，则该勒洛三角形的周长为___________．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.

10 . 我们把的椭圆称为“优美椭圆”，设为“优美椭圆”，点，分别是它的左焦点和右顶点，点是它短轴的一个端点，则______．