13-14高三上·湖南长沙·阶段练习
1 . （1）已知定点
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程.
（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点P在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（ⅰ）设直线的斜率分别为
，求证：
为定值；
（ⅱ）当P点运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为，点P在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（ⅰ）设直线
的斜率分别为，求证：为定值；（ⅱ）当P点运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
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名校
解题方法
2 . 已知动圆
过点
并且与圆
：
相外切，动圆圆心的轨迹为
．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)过点的直线
与轨迹交于
两点，设直线
：
，设点
,直线
交于
，求证：直线
经过定点．
过点并且与圆：相外切，动圆圆心的轨迹为．(1)求曲线
的轨迹方程；(2)过点
的直线与轨迹交于两点，设直线：，设点,直线交于，求证：直线经过定点．
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名校
解题方法
3 . 已知圆M：
的圆心为M，圆N：
的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点
，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且
．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点
，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
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解题方法
4 . 设动点P 到两定点.
和
的距离分别为
和
，
，使得
(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
(2)经过点
的直线与双曲线的左，右两支分别交于点
为坐标原点，求 
的取值范围.
和的距离分别为和，，使得(1)证明：动点
的轨迹为双曲线，并求出的方程；(2)经过点
的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围.
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解题方法
5 . 已知点
，动点满足
，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若是上不同的两点，且直线
的斜率为5，线段的中点为
，证明：点在直线
上．
，动点满足，记点的轨迹为曲线．(1)求
的方程；(2)若
是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．
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2024-03-10更新
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390次组卷
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2卷引用：贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题
名校
解题方法
6 . 已知双曲线
的左､右焦点为
，点
在双曲线
的右支上.且
，三角形
的面积为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线
与
轴交于点，过作斜率不为
的直线
，直线交双曲线于两点，直线
交双曲线于
两点.直线
交直线于点
，直线
交直线于点
.试证明：
为定值，并求出该定值.
的左､右焦点为，点在双曲线的右支上.且，三角形的面积为.(1)求双曲线
的方程；(2)已知直线
与轴交于点，过作斜率不为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点.直线交直线于点，直线交直线于点.试证明：为定值，并求出该定值.
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名校
解题方法
7 . 在平面直角坐标系xOy中，圆：
，，P是圆上的一个动点，线段
的垂直平分线l与直线
交于点M．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点
作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：
为定值．
：，，P是圆上的一个动点，线段的垂直平分线l与直线交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；
(2)过点
作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：为定值．
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2023-08-05更新
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722次组卷
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2卷引用：福建省宁德市博雅培文学校2023届高三高考前最后一卷数学试题
名校
解题方法
8 . 已知圆 
，过点
的直线与圆交于
两点，过点作
的平行线交直线
于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若直线
(不与轴垂直) 与轨迹交于另一点
关于轴的对称点为，求证: 直线
过定点.
，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.(1)求点
的轨迹的方程;(2)若直线
(不与轴垂直) 与轨迹交于另一点关于轴的对称点为，求证: 直线过定点.
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解题方法
9 . 已知圆
和定点
为圆上的动点，线段
的中垂线与直线
交于点，设动点的轨迹为曲线
.
(1)求证：
为定值，并求曲线的方程；
(2)若曲线与轴的正半轴交于点，直线
与曲线交于两点，且
的面积是
，求实数
的值.
和定点为圆上的动点，线段的中垂线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线.(1)求证：
为定值，并求曲线的方程；(2)若曲线
与轴的正半轴交于点，直线与曲线交于两点，且的面积是，求实数的值.
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解题方法
10 . 中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为
，纸片圆的边界方程为
.若点
位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求
面积的最小值.
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为
，纸片圆的边界方程为.若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求面积的最小值.
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