1 . 双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．
(1)若的一条渐近线为，求的方程；
(2)已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．

2 . 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角的顶点与坐标原点重合，点在第四象限，且点在双曲线的一条渐近线上，而与在第一象限内交于点.以点为圆心，为半径的圆与在第四象限内交于点，设的中点为，则.若，则的值为__________.

3 . 设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点.
(1)若的离心率为，求双曲线的焦距；
(2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程；
(3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围.

4 . 如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．


(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．

5 . 已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为，且双曲线经过点，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为的直线l，l与直线交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

6 . 已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（       ）

A．该双曲线的方程为或

B．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则

C．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条

D．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分

7 . 已知双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设双曲线C的焦点在x轴上，过点的直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，交渐近线分别于M，N，证明：．